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一、在创设情境时，感知数学建模思想。情景的创设要与社会生活实际，时代热点问题，自然，社会文化等与数学有关系的各种因素相结合。激发学生的兴趣，使学生用积累的生活经验来感受其中隐含的数学问题，从而促进学生将生活问题抽象成数学问题，感知数感

知数学模型的存在。学习数学的起点是培养学生以数学眼光发现数学问题，提出数学问题。

在教学中教师就应根据学生的年龄及心理特征，为儿童提供有趣的、可探索的、与学生生活实际密切联系的现实情境，引导他们饶有兴趣地走进情境中，去发现数学问题，并提出数学问题。

二、在探究知识的过程中，体验模型思想。

善于引导学生自主探索、合作交流，对学习过程、学习材料、主动归纳。力求建构出人人都能理解的数学模型。

例如：在推导圆柱体积公式一节课中，教师要有目的让学生回顾平行四边形，三角形、

梯形、圆几种平面图形面积的推导过程是怎样的？学生会想起通过割、补、平移、旋转等方

法拼成学过的图形，那么今天我们要探究的是圆柱的体积，你们怎样来推导它的公式？这样

学生很自然的想到一个新知识都是用旧知识来分解，从中找到新知识的内在模型。

三、新知识的结论，就是建立数学模型。

加法，减法，乘法、除法之间的内在联系。各类应用题的解题规律，各类图形的周长

与面积、体积的公式都是各种数学模型，学生有了这种模型思想才能应用它解释生活中的现

实问题。

在解决问题中，拓展应用数学模型。用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学的意识和综合应用数学解决问题的能力，让学生体验实际应用带来的快乐。

例如:我在教学“平行四边形面积的计算”时，采用了探究式的学习方法，使学生在获取数学知识的同时，数学思维和学习能力也得到了培养。

1.让学生充分参与与操作活动

数学知识具有抽象性，但来源于生活实际，加强教学中的实践活动，不仅有助于学生理解抽象的数学知识，而且可以通过让学生参与操作活动，促进学生的思维发展。如：在探究

平行四边形面积的计算方法时，我为学生设计了这样的操作活动：让他们通过剪一剪，拼一拼，想办法把平行四边形转化为已学过的图形，然后利用已有知识来推导它的面积计算方法，这就为学生创设一个“做数学”的机会，学生在操作前必须动脑思考，想好了才能动手剪拼，通过实际操作，多数学生都将平行四边形剪拼成了长方形，这样学生在积极参与操作活动的过程中，不仅促进了他们的思维发展，而且提高了他们的操作技能。

2.让学生积极参与交流活动

四、解释与应用中体验模型思想的实用性。

如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，然后出示这样的变式题：

1.汽车3小时行驶了270千米，5小时可行驶多少千米？

2.飞机的速度是每小时900千米，飞机早上11：00起飞，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？

学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，

说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从3小时行驶了270千米中找到需要的速度，从11：00至14：00中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。

综上所述，数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，可以使学生感觉到利用数学建模的思想解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。这也给我们一些启发：在对学生进行模型思想渗透时，要从现实生活出发，从实物出发，这样才可以让学生更快地接受，

更快地理解；在渗透这些思想时，教师首先需站在更高的高度上去考虑；在教学过程中，通

过引导学生处理问题，可以让学生更快、更有兴趣地跟踪教师的思路。在小学数学教材中，

模型无处不在。小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的

过程。在小学数学教学中，重视渗透模型化思想，帮助小学生建立并把握有关的数学模型，

有利于学生握住数学的本质。通过建模教学，培养学生应用数学的意识和自主、合作、探索、

创新的精神，为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。因此在数学课堂教学中，逐步培养

学生数学建模的思想，形成学生良好的思维习惯和应用数学的能力。

如何在小学数学教学中渗透数学思想

对数学文化有深入研究的名 师张齐华老师，在省第八届小学数学教学改革摩大会期间上了两节示范课，并作了“小学数学文化教育研究”的专题讲座，对新课程小学数学文化教育给出了个人的思考与表达：“所谓数学文化，就是以数学家主导的数学共同体在从事数学研究活动中所创造的物质与精神财富。显性的，如具体的数学知识及其物化的呈现形式，而隐形的则为内涵于具体数学知识、过程之中的数学方法、数学思想、数学观念、数学精神等。”由此我们是否可以认为，突出以人的发展为本，全面培养和提升学生的数学科学文化素养的数学新课程改革，应开展数学文化视野下的小学数学教学，在课堂教学过程中渗透数学文化，让文化成为数学课堂的自然本色，让学生在学习数学知识和技能的过程中理解数学所蕴涵的精神、思想、观念和意识，认识数学的真与美，运用数学的思想和方法，继承数学家的科学人文精神，实践能力和创新意识。

如何在数学教学中有机融入数学文化，实现数学文化的有效渗透，让数学文化朴素而平和地流淌在小学生的心灵深处，从本期刊登的几篇有关文章中读者或许能得到一些有益的启示。凭借数学教材渗透人文教育

综观近几年国内外教育研究资料，发现对“人文”精神层面的研究比较多，而将它与学科整合的实践研究比较少，20世纪90年代中期，我国学术界曾围绕“人文精神”进行过一场热烈的讨论，由于讨论涉及现代中国文化选择的价值尺度之确立，颇具现实意义和深远的历史意义，在理论界引起较为广泛的关注，但教育界对此反映却较为冷淡。长期以来，教育认识与实践中有一种误解，以为人文教育只是人文学科的教育，数学这门学科从表面上看，毫无疑问与科学性紧密相关，但似乎与人文性形同陌路，传统的数学教学常常把丰富多彩、动态生成的数学课堂简约为“重练习、明算理、形成能力”的特殊认知活动，导致数学课堂教学机械、沉闷和程式化，缺乏情感、态度与价值观的体验。

进入21世纪以来，我国实施了新一轮基础教育课程改革，这次改革注重在加强科学教育的同时，更重视人文教育，促进每一个学生的全面发展。数学是基础教育的核心课程，随着新一轮基础教育课程改革的展开，数学教育也进入了剧烈而深刻的变革时期。新课程改革给数学教育提出了新的要求，《数学课程标准（实验稿）》指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”同时强调“义务教育阶段的数学课程，基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。”因此，数学教育除了不断加强科学教育外，还应重视人文教育，做到科学与人文的整合。现行各种版本小学数学实验教材在编排上很注重课程的人文教育，人文内涵丰富，在教学中，教师应当深入挖掘教材中的人文教育因素，因势利导，在传授知识的同时注重学生人文精神的培养，让数学课堂充满人文色彩！

一、渗透数学思想方法，发展数学思维

数学思想方法是小学数学人文教育的精髓所在。在新课程理念下的数学课堂中，教师应当帮助学生在数学学习的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。数学知识和技能是学生进一步学习的基础，数学思想方法是学生思维发展和终身学习的重要基础。

关于数学思想方法，不同的人有不同的理解。概括地说，数学思想方法是指与具体的数学内容相分离，具有更普遍意义的思维模式或原则，数学思想是对数学知识的本质认识，数学方法是解决数学问题的策略，数学思想包含着数学方法，数学方法又蕴涵着数学思想。数学中有很多重要的思想方法，比如集合、数形结合、等量代换、运筹优化、化归与转化、符号化以及初步的代数思想等。根据小学生的年龄特征、生活经验和所学的数学知识，教材主要采用渗透的方式进行编排，具体体现在两个方面。

（一）是结合具体内容进行渗透。许多数学知识的展开过程中就蕴含着丰富的数学思想方法，教材的编排很注重结合具体内容进行渗透，让学生在学习具体数学知识的过程中初步体会这些思想方法。比如，转化是一种重要的数学思想方法，通过转化建立起未知知识和已学知识之间的联系，找到理解和掌握新知的方法。五年级小数乘除法的学习就是建立在整数乘除法的基础上，利用因数和积的变化规律将小数乘法转化为整数乘法，从而使学生理解小数乘法的计算算理并由此总结出小数乘法的一般计算方法。同样，小数除法也是借助商不变的规律和小数点移动的规律转化为除数是整数的除法来解决的。又如，平行四边形、三角形、梯形和圆等图形的面积公式都是转化成以前学过和图形推导出来的，还有异分母分数的加减法也是转化成同分母分数来计算的。再如，一年级结合数数、比一比的知识渗透集合与对应的思想，结合认识物体和图形以及分类，让学生体会分类的思想等；五年级结合简易方程渗透符号思想和初步的代数思想；六年级结合圆的面积渗透极限思想等。教材通过这样的编排，不仅让学生掌握数学知识，建立起新旧知识之间的联系，更重要的是自然地体会了这些数学思想方法，初步获得了数学学习的方法。

（二）是单独安排“数学广角”进行渗透。

实验教材从二年级开始单独安排了一个单元——“数学广角”，通过简单的事例和有趣的数学问题，系统而有步骤地向学生渗透一些重要的数学思想方法。比如，在低年级安排了“找规律”的内容，让学生在具体情境中，通过观察、实验、猜测、推理等活动发现图形和数字简单的排列规律，从图形的排列规律、图形和数字结合的排列规律到数字的排列规律，培养学生初步的观察、推理能力；在四年级安排了“优化”的内容，通过简单的日常生活事例，如烙饼、沏茶、卸货等问题，让学生体会运筹思想在解决实际问题中的应用；在六年级安排了“鸡兔同笼”的内容，利用古代名题的趣味性激发学生学习数学的兴趣，同时通过探索分析，找出解决问题的方法，在“假设法”的方法中培养学生的逻辑推理能力，让学生通过“假设”创造出很多巧妙的解题思路，这种方法能锻炼人的逻辑推理能力。

二、挖掘古老的数学文化，激发民族精神

中国是世界文明古国之一，有着五千年的古老文明，历史底蕴和文化资源十分丰富。数学本身不只是一些数字、公式、图形，它还包含着丰富的文化气息，每一个内容背后都有一种生气勃勃的精神。在实际教学中，教师可以结合教材中的知识点，给学生讲一些相关的数学史、数学趣闻或是数学家的故事，让学生了解数学知识丰富的历史渊源，以此激发学生的民族自尊心和民族自豪感。例如，在“长方形和正方形面积的计算”一课的教学中，在教师引导下，学生通过“猜测——实验——验证”等学习活动，推导出长方形面积计算公式和正方形面积计算公式之后，教师提供这样的材料让学生阅读：大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的方田章就论述了长方形面积的算法，书中说：“方田术曰，广从步相乘得积步。”其中的“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长方形的长和宽，也就是说：长方形面积=长×宽。阅读这个材料之后，同学们都会为我们祖先的聪明才智而感到自豪！

上述教例：老师把古人相关的研究成果与教学内容巧妙结合，拓宽了学习内容的知识背景，给严密的教学探究过程增添了几分经典的历史底蕴，让数学课堂充满浑厚的人文韵味。像这样的例子教材中还有很多，如教学“东、南、西、北”一课时，介绍我国的伟大发明——指南针；教学“圆的周长”时，介绍祖冲之和圆周率；教学“小数的意义和读写法”时，介绍刘徽对“微数（也就是后来的小数）”的提出和使用……如此把数学知识的学习与祖国的传统文明巧妙结合起来，不仅激发了学生的探索热情，发展了学生的思维能力，还陶冶了学生的情操，让学生进一步感受数学文化的价值，数学本身的人文内涵得到了深度拓展。

三、贴近社会生活，营造人文氛围

小学数学教材的例题、习题中，有不少关联社会生活的因素，在教学中教师应善于结合这些生活事实让学生在学习中体验生活、认识社会，巧妙地把数学教学与社会生活结合起来。这样，不仅能够激发学习的兴趣，还营造了良好人文氛围，使学生感悟社会生活的丰富多彩和数学的运用价值，思想和观念受到熏陶！《数学课程标准（实验稿）》指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的……内容呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的需求。”数学来源于生活，人文性的数学内容就是基于学生的生活现实，教师在教学中要能够创造性地使用教材，打破形式化的叙述，及时将具有生活背景的学习材料呈现给学生。

请看人教版四年级上册“数学广角2（合理安排）”一课的一个精彩教学案例：

（1）首先教师为学生创设一个招待客人的生活情境：家里来客人了，你作为小主人，要沏茶招待客人，沏茶需要做哪些准备呢？（洗茶杯2分钟、洗水壶1分钟、接水1分钟、烧水8分钟、找茶叶1分钟、沏茶1分钟）

（2）小组合作，研究合理的安排方法，即如何科学安排，做好这些工作？

汇报交流：

方案一：洗水壶（1分钟）→接水（1分钟）→洗茶杯（2分钟）→找茶叶（1分钟）→烧水（8分钟）→沏茶（1分钟）〔共计用了14分钟〕

方案二：洗水壶（1分钟）→接水（1分钟）→烧水（同时洗茶杯、找茶叶）（8分钟）→沏茶（1分钟）〔共计用了11分钟〕

（3）：深入探究，讨论交流，哪组的方案最佳？

生：第一种方案虽然可行，但是没有第二种方案好。

师：这个“好”主要表现在哪里？

生：节约了时间。第一种方案共用了14分钟，而第二种方案在烧水的同时可以完成洗茶杯、找茶叶等事项，节约了3分钟，共用了11分钟。

师：你很会思考，很会做事，能够在合理安排的基础上体现优化思想，真了不起。

（4）巩固应用，展示价值。

在巩固应用这一教学环节，教师又提供了做早饭、上学前、做家务、生病吃药等生活素材，让学生选择自己喜欢的生活信息，设计最佳方案。通过简单的生活事例，使学生认识到解决问题策略的多样性，初步体会优化思想在解决实际问题中的应用，形成寻找解决问题最优方案的意识，逐渐养成合理安排时间的良好习惯。

（5）总结反馈，畅谈收获。

在这个教学环节中，教师让学生谈谈生活中还有哪些事情可以通过合理安排来提高效率，学了这节课有哪些收获。

生：我以前早晨起床后找这找那，慌慌张张的，连早饭都来不及吃。现在我知道怎样合理安排时间，按照一定顺序做事情。通过今天的学习，我还懂得了做任何事情都要讲究学问，生活中到处都有数学。

“做任何事情都要讲究学问！”多么精辟的概括。最后，教师据此将本课的课题定为“做事中的学问”。人文性教学内容的生成，使学生不仅有实实在在的认知收获，同时也有了或多或少的生命感悟，这是课堂生成的理想境界。

四、借助时事材料，培养时代精神

课程实验数学教材特意穿插一些有关“申奥”、“纳税”、“环保”、“资源”等方面的时事内容，这类题目具有时代感，有利于引导学生去关注社会、关注身边的人和事，从而受到人文教育。例如“纳税”这一课的教学，课前教师布置学生进行有关国家税收的调查，并收集一些纳税的数据在课堂上交流；课堂上教师再出示一些信息：①2007年国家财政收入5.13万亿元，其中税收占4.94万亿元；②神舟5号载人飞船的研究、发射，国家投入10亿元；神舟6号载人飞船的研究、发射，国家投入9亿元；③2007年中央财政的教育支出达858?郾54亿元；④2007年国家财政用于支持退耕还林资金达到277?郾86亿元。教师引导学生针对以上信息展开讨论交流：“国家财政收入的主要来源是什么？国家用收上来的税款做什么？为什么要纳税？”通过以上的讨论交流，让学生认识到，税收是国家财政收入的主要来源，国家用收上来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防等事业，依法纳税是每个公民应尽的义务。这样有助于从小培养学生“主动纳税”的意识。

五、展示数学瑰丽，陶冶高尚情操

数学教材本身具有许许多多美的特征，我们在学数学、用数学的过程中，无处不在感受着数学美。因此，教学中教师要善于利用这些美的素材陶冶学生的审美情趣。

请欣赏“九义”教材六年级“轴对称图形”一课的精彩教学片段：

课的结尾，伴随美妙的音乐，师生一同欣赏“桂林山水”的美景图。教师娓娓而谈：同学们，今天这节课，我们一起走进了“轴对称图形”的世界。其实，大自然对于对称的创造，还远不止这些，仰望苍天，俯瞰大地，无处不在显示着对称的魅力！那花丛中翩翩起舞的蝴蝶、蜜蜂，那翱翔天际的大雁、白鸽，那横跨天空的彩虹，片片翻飞的落叶，以至于我们每一个人，每一张笑脸，都展现着对称的魅力。可以说，因为美，大自然才选择了对称，因为有了对称，大自然又增添了无尽的美！

这段结束语，犹如一首优美的散文诗，不仅再一次让学生感受到对称之美，数学之美，而且富含哲理，给人以思想启迪。

摘要： 数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓。“小学数学思想方法”是在小学数学中运用的研究问题的思想和方法。探讨在小学数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数学的内容和知识体系；有利于提高学生的数学素质；有利于对学生进行美育的渗透和辨证唯物主义的启蒙教育；有利于教师以较高的观点分析处理小学教材。本论文从分析教材和参考教育资料上探讨小学数学教材中数学思想方法的重要性，搜索和概括小学数学中几种常用的数学思想方法及教学策略，例如符号化思想、数学模型、统计思想等；渗透数学思想方法的教学中证明：有目的、有计划的渗透数学思想方法可以让不同程度的学生从中受益，从而提高数学学习的效率及教学质量。

关键词：数学思想方法 渗透

小学数学教学不仅要传授学生知识，而且也要在教学中渗透数学思想方法。数学思想方法是数学知识不可分割的有机组成部分，小学数学教材中，蕴含了许多数学思想和方法，如符号化思想、数学模型思想、统计思想、化归思想、组合思想、变换思想、对应思想、极限思想、集合思想、转化建模的思想以及猜想、验证的方法和反证法等。学生对数学的学习不单纯是知识的获得和反复的操练，贯穿始终的还有数学思想方法。如果说数学教材中的基础知识和基本技能是一条明线的话，那么蕴含在教材中的数学思想方法就是一条暗线。教师要注意数学思想方法的渗透，抓住教学内容中的有利因素，有意识地加以引导，有目的、有选择、适时地进行渗透,使学生在潜移默化中掌握数学思想方法。

一、 教学中渗透数学思想方法是必然趋势。

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法 的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性主要有以下四点：

1、创新人才培养的需要。当今世界，科技发展突飞猛进，知识经济初见端倪，国际竞争日趋激烈，人的素质的提高和“人才高地”的构筑，越来越成为经济增长和社会发展的决定性因素。素质教育的重要性被凸现出来。数学教学也应实施素质教育，我国《全日制义务教育数学课程标准》明确指出：义务教育阶段的数学课程致力于学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心；学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题；形成勇于探索，勇于创新的科学精神；获得对未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，（包括数学知识，数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。创新人才需要高素质的人，高素质的人必须具备优秀的思维品质，而数学是思维的科学，思维能力是数学能力的核心。在数学教学中渗透数学思想方法是培养学生的创新意识最根本的途径。

2、数学教学改革的需要。根据有关调查发现，在数学教学中数学思想方法的教学不受重视。相当一部份教师根本没有把数学思想方法纳入教学目标。而加强数学思想方法的教学是进一步提高数学教学质量的需要。从数学教材体系看，整个小学数学教材中贯穿着两条主线，一是写进教材的最基础的数学知识，它是明线，一贯很受重视，必须切实保证学生学好。另一条是数学能力培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，较少或没有直接写进教材，但对小学生的成长却十分重要，也越来越引起人们的重视。在教学中不能只注重数学知识的教学，忽视数学思想方法的教学。两条线应在课堂教学中并进，无形的数学思想将有形的数学知识贯穿始终。重视数学思想方法的教学有利于教师从整体上把握数学教学目的，将数学的本质、知识形成的过程，解决问题的过程展示给学生，教学达到事半功倍。现在教学中存在重知识结论的教学，轻知识发生过程的教学；重知识达标评价，轻数学思想形成的评价；重学生眼前的分数利益，轻学生的长远素质发展等的现状。一些教师对数学思想方法的理解不深透，数学思想方法的渗透教学在课堂教学中短时期难以见成效。因此，在小学数学教学中，数学思想方法的教学难以规范有序的实施，成为被人遗忘、冷落的“角落”。数学教学若是坚持 “数学知识的教学”则远远不能培养数学的思维能力，而数学思维能力的培养需要数学思想方法的教学与渗透。基于以上现状，数学思想方法的教学在小学数学教学法中有必要进行实践与探索。

3、 在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，它对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性 的作用。学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法 就是帮助构建解题思路的指导思想。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是 培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。

4、小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强 学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好 比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横 两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基 本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。

二、现行小学数学教材中主要数学思想方法的知识分布及其教学策略。

现行的小学数学无论是新教材还是旧教材从教材内容看，小学数学解题常用到数学模型、符号化思想、统计思想、化合思想、组合思想等。这些数学思想方法对帮助学生解决实际问题有着重要的作用。

1、 符号化思想。

英国著名哲学家、数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”。小学教材中大致出现如下几类符号：（1）个体符号：表示数的符号，如：1、2、3、4…，0；a,b,c,…，π，χ以及表示小数、分数、百分数的符号。（2）数的运算符号：+，-，×（·），÷（/，:）。（3）关系符号：=，≈，>，<，≠等。（4）结合符号：（），〔 〕等以及表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。

由于数学符号的抽象性和小学生思维习惯的具体性之间存在着矛盾，又由于符号常常是概念的代表。所以教师在教学中渗透符号化思想就要注意：①让学生正确理解与使用数学符号。在实际的教学中，学生在使用这些数学符号时往往会出现如下的错误。例如：在教学低年级文字题“90比60 多几？”小学生由于对加法的意义的不理解，往往看“多”就用“+”，看“少”就用“-”。误列式为“90+60”。又例高年级文字题“一个数的6倍少24是180，求这个数是多少？”学生也往往看见“倍”用“×”，看“少”就用“-”，误列式为“（180-24）×6”。象这样的例子，教师在教学中注意让学生理解符号的内涵，正确理解使用符号所表示的概念。如果只从解法上予以纠正而不从符号化思想上予以渗透，将事倍功半，学生今后还会出现类似的错误。②掌握日常语言与符号语言间的转化。数学教学实际上是数学语言的教学。在教学活动中，要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转化，即将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。反之，也能将符号语言转化为问题，看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。例如：

小营村有棉田75公顷， 已知一个数的60%是 解:设全村耕地面积是

是全村耕地面积的60% 全分析转化75，求这个数是多少？ χ公顷。

村耕地面积是多少公顷？ X 60%=75

日常语言 数学语言 符号语言

因此，教师在教学当中要引导学生用数学语言描述生活语言，而不要机械的把数学符号灌输给学生，从而培养学生抽象思维能力。③在填数中渗透变元思想。小学数学教科书在不同阶段，对变元思想有不同水平、不同形式的渗透，以便让学生逐步了解变元思想。例如：3.□7>3.27，45.16<45.1□，学生在方框里填上一个数很容易，但教师要明白，若将方框里填上χ就变成一元一次不等式。因此，教师应引导学生继续思考：方框内最多可以填几个数？这种思考能是学生初步了解变元思想。④在字母表示数中渗透符号化思想。在小学教材中，用字母表示数有表示运算定律，表示数量关系，面积体积公式等。例如：加法交换律：a+b=b+a,路程=速度×时间用字母表示s=vt，等。教师在教学用字母表示数时要循序渐进，从学生的生活中、原有的认知结构结合起来自然的建构。

2、 数学模型方法。

著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微”，这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、相互制约的辩证关系。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可做广义和狭义理解。按广义的理解，凡一切数学概念、数学公式、数学理论体系、方程式和算法系统都可以叫做数学模型。数学模型可以分为三类：①概念型数学模型，如实数、函数、集合、向量等。②方法型模型，如各种方程、公式等。③结构型模型，如群、环、域、向量空间等。数学模型在解题中的基本构造如下：

实际问题

数学抽象

数学模型 还原说明

演算 推理

数学模型的解

由于数学模型的直观性能将概念的本质属性变得明显，学生掌握较容易，因此，在小学数学教学中恰当地渗透数学模型方法，有助于小学生掌握数学知识，增强解题能力，提高数学教学的效果。小学数学教学一般运用的是概念型数学模型和方法型的数学模型。

① 集合模型在教学中的渗透。三角形按角分类可以用下图表示：

三角形

直角三角形

锐角三角形钝角三角形

学生弄懂集合图的含义后，在今后的学习中会尝试用集合图来表示概念间的联系。如：

平行四边形

长方形

正方形

在应用题的解题中，教师也可以启发学生用集合图来帮助分析题意探寻解题方法。如：工程队计划修一条长250千米公路，第一天修了全长的20%，第二天修了全长的40%，剩下的第三天修完，第三天修了多少千米？

250千米（“1”）

第一天第二天 第三天

20% 40% ？

从图中可以看出，第三天修的路长是全长250千米的（1-20%-40%） ，此题迎刃而解：250×（1-20%-40%）=100（千米）。

②方程模型在教学中的渗透。列方程解应用题的关键是用数学模型来模拟数量关系，即根据条件用两种不同的方式表示同一量，列出已知数与未知量之间的关系式。在小学中高年级已逐步用方程来解答文字题与应用题。例如：一个工厂原来每天制造机器零件1800个，比现在少10%，现在每天制造机器零件多少个？

解：设现在每天制造机器零件χ个。

现在每天制造 原来每天制造 原来每天制造机

机器零件 — 比现在少10%， = 器零件1800个

χ 10%χ 1800

于是列出方程：χ-10%χ=1800。也就是原来每天制造机器零件1800个相当于现在的（1-10%）。还可列出方程χ·（1-10%）=1800。

③几何模型在教学中的渗透。解应用题时，若能将难题的数学问题化为与之相关的图形，通过作图来构造几何模型，再根据图形的性质和特点解题，将会使问题的解答简易直观。例如：一台压路机轮宽6米，如果它一分钟行驶200米，照这样计算，一小时它压过路面是多少平方米？

200米

轮宽6米

从图中可以看出，这题实际就是求60个长200米、宽6米的长方形的面积。6×200×60=32000（平方米）。

④公式模型在教学中的渗透。数学公式既是反映客观世界数学关系的符号，又是现实世界抽象出来的数学模型，因为它摒弃了各个事物的个别属性，因此它更具有典型的意义。例如：工作总量=工作效率×工作时间，路程=速度×时间，总产量=单产量×公顷数等。利用这些抽象出来的数学模型可以解决许多相关的题。例题“一件工作，甲单独做要6小时，乙单独做要用4小时，甲做完1/3后，两人合作，还要几小时做完？”解决这道题将工作总量看作单位“1”，甲的工作效率看作1/6，乙的效率看作1/4，根据工作总量=工作效率×工作时间这个公式模型，列式得出：（1-1/3）÷（1/6+1/4）=1.6（小时）。

3、统计思想

统计的基本思想是：从局部观测资料的统计特征来推断整个系统的状态，或判断某一论断以多大的概率来保证其正确性，或者算出发生错误判断的概率。统计方法是由“局部到整体”、“由特殊到一般”的科学方法。小学数学中统计思想体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图。学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现一些相关的问题，得出一些结论。在教材的编排上，在低中年级让学生领悟略朴素的统计思想后，在中年级学习数据整理的方法上到高年级进一步按数据的大小分组统计的整理方法和复式条形统计图以及折线统计图。除了按课本的安排教学外，教师也可在平时的教学中有机的渗透统计的思想。例如：在课前布置学生收集有关的资料。如《亿以内数的读写》一课，可让学生收集生活中有关亿以内数的相关数据，通过课前收集、课上的交流与整理不仅学生学会了读写这些数，而且在接受国情教育中体会了统计的思想。在有些课上也可当堂收集资料统计数据，为教学内容服务。如《三步应用题》一课，课上调查同学们的定报情况，包括人数，单价，数量，报刊的种类等。通过图表等形式，提出问题，围绕着三步应用题的解题思路进行教学。这样的教学，教师有意识的渗透统计思想，学生学到生活中的数学，学习的有效性大大提高。当然，在小学数学中统计思想的渗透只能是初步的，仅仅涉及到整理样本数据的一些最简单的方法。至于总体推测，只是引导学生作些初步的想象和估算，以逐步接受统计思想的熏陶，同时也为今后的进一步学习打下基础。

4、.化归思想

化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。

例1 、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1／2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3／8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？

这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1／2（或2 3／4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3／8米的整倍数，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍数”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小 公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。

5、.组合思想

组合思想是把所研究的对象进行合理的分组，并对可能出现的各种情况既不重复又不遗漏地一一求解。

例4 在下面的乘法算式中，相同的汉字代表相同的数字， 不同的汉字代表不同的数字，求这个算式。

从小爱数学

× 4

──────

学数爱小从

分析：由于五位数乘以4的积还是五位数， 所以被乘数的首位数字“从”只能是1或2，但如果“从”＝1， “学”×4的积的个位应是1，“学”无解。所以“从”＝2。

在个位上，“学”×4的积的个位是2，“学”＝3或8。但由于“学”又是积的首位数字，必须大于或等于 8，所以“学”＝8。

在千位上，由于“小”×4不能再向万位进位，所以“小”＝1 或0。若“小”＝0，则十位上“数”×4＋ 3（进位）的个位是0，这不可能，所以“小”＝1。

在十位上，“数”×4＋3（进位）的个位是1，推出“数”＝7。

在百位上，“爱”×4＋3（进位）的个位还是“爱”，且百位必须向千位进3，所以“爱”＝9。

故欲求乘法算式为

2 1 9 7 8

× 4

──────

8 7 9 1 2

上面这种分类求解方法既不重复，又不遗漏，体现了组合思想。

6、在实际的教学中由于执教者对教材的理解不同，对同一教学内容会用不同的思想方法进行教学。有的教学内容往往通过几种数学思想方法去分析与解答。因此，教师在教学中要充分理解教材的教育功能，挖掘其隐藏的数学思想方法，在导出结论、寻找方法、揭示规律的过程中，使学生掌握其来龙去脉，培养学生自觉运用数学思想方法的意识。除以上例举的五种思想方法外，变换思想、对应思想、极限思想、集合思想、联想思想、、归纳猜想方法、演绎法转化建模的思想以及猜想、验证的方法和反证法等在小学数学教学中也时常应用，教师也应注意有意识地在教学中渗透。

三、在日常教学中渗透数学思想方法。

新一轮基础教育课程改革制定的新《课程标准》特别关注学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三个维度。《课程标准》中提到：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学到有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求我们教师在教学中不能只关注知识与技能，更要关注技能与方法。

1、 渗透数学思想方法教学的原则

（1）过程性原则。

在教学中渗透数学思想方法时，不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识的引导学生潜移默化地领会蕴含其中的数学思想和方法。例如：在教学加法交换律时，通过一个猜球的小游戏，让学生用日常生活语言叙述游戏中：“变与不变的道理”。然后，进一步让学生用图形或数学符号表示，进而抽象出数学模型A+B=B+A。

（2）反复性原则。

数学方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认知过程。那么，教师在教学中应作到渗透与反复相结合。例如：在教学运算定律的应用、典型应用题及解决一些实际问题时，反复渗透集合模型、方程模型、集合模型、公式模型等各种数学模型方法。

（3）系统性原则。

数学思想方法的渗透要由浅入深，不能随意性太强，对一种数学思想方法挖掘到什么程度，学生能理解到什么程度，教师要心中有数。所以，教师在制定教学计划时，要充分了解这一册教材中可以结合哪些内容进行什么数学思想方法的渗透，再结合后续的教学整理出数学思想方法教学的系统。

（3）明确性原则。

数学思想方法如果长期、反复、不明确的渗透，学生就不会有意识的领会与使用。所以，在一个教学阶段，教师就要有意识的总结我们解题时所应用到的思想方法，使得学生对数学思想方法的规律、运用方法适度明确化，利于今后的学习。

2、 渗透数学思想方法的有效途径

（1） 在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法。

在教学中教师不要简单的给出定义，不要过早的下结论，不要死板的找关联，这利于培养学生的分析、观察、比较、抽象、概括的逻辑思维加工的能力。例如：在教学“小数的性质”一课，教师不是简单地告诉学生什么是小数的性质，而是通过比较0.10与0.100的大小，由学生自己揭示小数的性质。学生分小组讨论0.10与0.100相等的理由有五、六种之多。有的利用数形结合的方法来验证；有的用实际测量的方法验证；有的用商不变的性质类比验证；有的用反证法验证等等。

（2） 通过小结、复习提炼概括数学思想方法。

在每一个单元整理与复习时，除了让学生整理数学知识点，还要让学生回忆解题是所应用到的一些典型的思想方法。从而让学生运用这些方法来解决实际问题。

（3） 在教学中注意多种数学思想方法的综合运用。

在解决实际问题的过程中，往往需要多种方法同时运用才能奏效。那么，在教学时注意引导学生综合运用的能力。

（4） 注意总结与评价。

在进行一段时间的训练后，结合学生的作业、测试，教师要及时的给学生总结与评价。评价时不要简单的对结果做出是非的评价，而要通过分析学生的解题思路及运用到的一些数学思想方法给予肯定。以此激励学生的创新能力，激发他的学习动力。

已经有人通过实验研究一学期的教学，在研究过程中不断的改进与总结，初步看见一些成效。从学生的成绩可以看出，在教学中有目的、有计划、有序列的进行数学思想方法的渗透，学生能够接受，可以让不同程度的学生受益，锻炼他们的思维能力，增强解决问题的能力，从而提高教学质量。

四、结论

在小学数学中渗透数学思想方法随着新一轮课程改革的进行已放在重要而显性的地位。每一个教师都要在实践中积极地改革与尝试。通过有效的实践与研究，在小学数学中渗透数学思想方法是可行的，学生是完全可以接受的，并且通过有目的、有计划、有序列的渗透，学生的思维能力得以增强，不同的学生都得到不同的收获，他们得到的不仅是“鱼”，还有“渔”，对学生的长远发展有着积极的意义及深远的影响。教师在这一研究中，提高了自身的数学修养，提升了教学理念，真正以“人”为本提高了课堂效益与教学质量。

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